A resposta mais simples é: 0° é uma expressão sem significado matemático. Uma resposta mais informativa seria: 0° é uma expressão indeterminada.

Para explicar estas respostas, talvez seja melhor examinar dois exemplos mais simples de formulas desprovidas de significado matemático que são 0/0 e 1/0. De acordo com a definição de divisão, a/b=c significa que a=b.c.

Portanto, se escrevêssemos 0/0=x e 1/0=y, estas igualdades segnificariam que 0=0.x e 1=o.y. Ora TODO xé tal que 0.x=0 e NENHUM número yé tal que 0.y=1. Por isso se diz que 0/0 é uma expressão inderteminada e que 1/0 é uma divisão impossível.

Zero é um número natural?

Sim e não. Incluir ou não o número 0 no conjunto N dos números naturais é uma questão de preferênciapessoal ou, mais objetivamente, de conveniência. O professor ou autor pode, em diferentes circunstâncias, escrever zero pertencente aos naturais ou não pertencente. Como assim?

Consultemos um tratado de álgebra. Praticamenteem todos eles encontramos N={0,1,2,..}. Vejamos um livro de Análise. Lá acharemos quase sempre N={1,2,3,...}.

Por que essas preferências? É natural que o autor de um livro de Análise, cujo principal interesse é o estudo das operações, considere zero como um número natural pois isto lhe dará um elemento neutro para a adição de números naturais e permitirá que a diferença de x-y seja uma operação com valores em N não somente quando x>y mas também se x=y. Assim quando o algebrista considera zero como número natural está facilitando nossas vidas, eliminando algumas exceções.

Entretanto, em Análise, por conveniência consedera-se o zero fora do conjunto N.

Por que (-1)(-1) = 1?

Para quem vai sequir a carreira docente na área da matemática, o professor alagoano Benedito de Morais mostra como costumava explica as regras de sinal aos seus alunos, aindo da seguinte maneira:

1. o amigo do meu amigo é meu amigo, ou seja (+)(+)= +;
2. o amigo do meu inimigo é meu inimigo, isto é, (+)(-)= -;
3. o inimigo do meu amigo é meu inimigo, quer dizer, (-)(+)= - e, finalmente,
4. o inimigo do meu inimigo é meu amigo, o que significa (-)(-)= +.

Sem dúvida esta inlustração era um bom artifício didático, e de certa maneira continua sendo para tornarmos mais fácil e ilustrativa o ensino e a apredizagem nas turmas de ensino fundamental que possámos vir aensinar.

Considerações socias a parte, o que os preceitos acima dizem é que multiplicar por -1 significa "trcar o sinal" e, evidentimente trocar o sinal duas vezes equivale a deixar como está.